2010年高考真题及答案 安徽卷——理科数学
作者:墨玦
2011-03-01 21:33:01

以下是部分内容预览,注意图片没有显示出来,WORD里是有的。请到下载区下载完整的试题及答案。
姓名 座位号
(在此卷上答题无效)
绝密★启用并使用完毕前
 

2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.
2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色签际笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效.
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.
参考公式:
如果事件A与B互斥,那么
如果A与B是两个任意事件, ,那么
如果事件A与B相互独立,那么

第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 是虚数单位,
(A) (B) (C) (D)
(2)若集合 ,则
(A) (B)
(C) (D)
(3)设向量 ,则下列结论中正确的是
(A) (B) (C) 垂直 (D)
(4)若 是R上周期为5的奇函数,且满足 则 =
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
(5)双曲线方程为 ,则它的右焦点坐标为
(A) (B) (C) (D)
(6)设 ,二次函数 的图象可能是

 

 


(7)设曲线C的参数方程为 ( 为参数),
直线 的方程为 ,则曲线C到直线 的距
离为 的点的个数为
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
(8)一个几何全体的三视图如图,该几何体的表面积为
(A)280 (B)292
(C)360 (D)372
(9)动点 在圆 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知定时t=0时,点A的坐标是 ,则当 时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是
(A)[0,1] (B)[1,7] (C)[7,12] (D)[0,1]和[7,12]、
(10)设 是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
(在此卷上答题无效)
绝密★启用并使用完毕前
2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
(11)命题“对任何 ”的否定是 .
(12) 的展开式中, 的系数等于 .
(13)设 满足约束条件 若目标函数 的最大值为8,则 的最小值为 .
(14)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 .
(15)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红
球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,
分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球
的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球
是红球的事件,则下列结论中正确的是  (写出所有正确结
论的编号).
① ;
② ;
③事件B与事件A1相互独立;
④A1,A2,A3是两两互斥的事件;
⑤ 的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在答题卡上的指定区域内.
(16)(本小题满分12分)
设 是锐角三角形, 分别是内角A,B,C所对边长,并且
(Ⅰ)求角A的值;
(Ⅱ)若 ,求 (其中 ).

 


(17)(本小题满分12分)
设a为实数,函数
(I)求 的单调区间与极值;
(II)求证:当 时,

 


(18)(本小题满分13分)
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF//AB,EF⊥FB,AB=2EF,
BF=FC,H为BC的中点.
(I)求证:FH//平面EDB;
(II)求证:AC⊥平面EDB;
(III)求二面角B—DE—C的大小.

 

 


(19)(本小题满分13分)
已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率
(I)求椭圆E的方程;
(II)求 的角平分线所在直线 的方程;
(III)在椭圆E上是否存在关于直线 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.

 

 


(20)(本小题满分12分)
设数列 中的每一项都不为0.
证明, 为等差数列的充分必要条件是:对任何 ,都有

 

 

(21)(本小题满分13分)
品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序,经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设n=4,分别以 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号,并令

则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(I)写出X的可能值集合;
(II)假设 等可能地为1,2,3,4的各种排列,求X的分布列;
(III)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 ,
(i)试按(II)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立);
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


参考答案

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)B (2)A (3)C (4)A (5)C
(6)D (7)B (8)C (9)D (10)D
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
(11)存在
(12)15(若只写 ,也可)
(13)4 (14)12 (15)②④
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在答题卡上的指定区域内.
(16)(本小题满分12分)
本题考查两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系,特殊角的三角函数值,向量的数量积,利用余弦定理解三角形等有关知识,考查综合运算求解能力.
解:(I)因为

(II)由 可得

由(I)知 所以

由余弦定理知 及①代入,得
③+②×2,得 ,所以

因此,c,b是一元二次方程 的两个根.
解此方程并由
(17)(本小题满分12分)
本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
(I)解:由
令 的变化情况如下表:





— 0 +

单调递减


单调递增
故 的单调递减区间是 ,单调递增区间是 ,
处取得极小值,
极小值为
(II)证:设
于是
由(I)知当

于是当


(18)(本小题满分13分)
本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.


[综合法](1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG,GH,
又H为BC的中点,
∴四边形EFHG为平行四边形,
∴EG//FH,而EG 平面EDB,∴FH//平面EDB.
(II)证:由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC,又EF//AB,
∴EF⊥BC.
而EF⊥FB,∵EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.
又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC,
又FH//BC,∴AC=EG.
又AC⊥BD,EG BD=G,∴AG⊥平面EDB.
(III)解:EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面CDEF,
在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K,
则∠FKB为二面角B—DE—C的一个平面角.
设EF=1,则AB=2,FC= ,DE=
又EF//DC,∴∠KEF=∠EDC,∴sin∠EDC=sin∠KEF=
∴FK=EFsin∠KEF= ,tan∠FKB= ∴∠FKB=60°
∴二面角B—DE—C为60°.
[向量法]
∵四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC,又EF//AB,∴EF⊥BC.
又EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC.
∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.
又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,∴FH⊥平面ABC.
以H为坐标原点, 轴正向, 轴正向,
建立如图所示坐标系.
设BH=1,则A(1,—2,0),B(1,0,0),
C(—1,0,0),D(—1,—2,0),E(0,—1,1),
F(0,0,1).
(I)证:设AC与BD的交点为G,连GE,GH,

平面EDB,HF不在平面EDB内,∴FH∥平面EBD,
(II)证:
又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.
(III)解:
设平面BDE的法向量为


即二面角B—DE—C为60°.
(19)(本小题满分13分)
本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式,点关于直线的对称等基础知识;考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.
解:(I)设椭圆E的方程为

将A(2,3)代入上式,得
∴椭圆E的方程为
(II)解法1:由(I)知 ,所以
直线AF1的方程为:
直线AF2的方程为:
由点A在椭圆E上的位置知,直线l的斜率为正数.
设 上任一点,则

若 (因其斜率为负,舍去).
所以直线l的方程为:
解法2:

(III)解法1:
假设存在这样的两个不同的点

由于M在l上,故 ①
又B,C在椭圆上,所以有
两式相减,得

将该式写为 ,
并将直线BC的斜率 和线段BC的中点,表示代入该表达式中,
得 ②
①×2—②得 ,即BC的中点为点A,而这是不可能的.
∴不存在满足题设条件的点B和C.
解法2:
假设存在 ,


得一元二次方程
则 是该方程的两个根,
由韦达定理得
于是
∴B,C的中点坐标为
又线段BC的中点在直线
即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.
∴不存在满足题设条件的相异两点.
(20)(本小题满分12分)
本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考查推理论证、运算求解能力.
证:先证必要性
设数列 则所述等式显然成立,
若 ,则


再证充分性.
证法1:(数学归纳法)设所述的等式对一切 都成立,首先,在等式

两端同乘 成等差数列,
记公差为
假设 时,观察如下二等式

, ③
将②代入③,得

在该式两端同乘

由数学归纳法原理知,对一切
所以 的等差数列.
证法2:[直接证法]依题意有


②—①得

在上式两端同乘
同理可得 ③
③—④得
即 是等差数列,
(21)(本小题满分13分)
本题考查离散型随机变量及其分布列,考查在复杂场合下进行计数的能力,能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境,考查概率思想在现实生活中的应用,考查抽象概括能力、应用与创新意识.
解:(I)X的可能值集合为{0,2,4,6,8}.
在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个,所以 中的奇数个数等于 中的偶数个数,因此 的奇偶性相同,
从而 必为偶数.
X的值非负,且易知其值不大于8.
容易举出使得X的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.
(II)可用列表或树状图列出1,2,3,4的一共24种排列,计算每种排列下的X值,在等可能的假定下,得到


X 0 2 4 6 8
P
(III)(i)首先 ,将三轮测试都有 的概率记做p,由上述结果和独立性假设,得

(ii)由于 是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有 的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能,不是靠随机猜测.

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